Disciplina - DQF10648 Eletromagnetismo I

Aula em 13/07/2021 - Semestre 2021/1 EARTE

DQF - CCENS - UFES/Alegre

Cálculo integral e seus teoremas em análise vetorial

Vide seção 1.3 do livro [Griffiths].

Teorema fundamental para gradiente

É uma generalização do teorema fundamental do Cálculo para função de uma variável :

$$ \int_a^b \frac{df}{dx} dx = f(b) - f(a) $$

tal que o teorema fundamental para gradiente é para funções escalares $F$ em $N$ dimensões, sendo a integral curvilínea ao longo de uma curva (caminho) $C$ :

$$ \int_C (\vec{\nabla} F) \cdot d\vec{s} = \int_a^b (\vec{\nabla} F) \cdot d\vec{s} = F(b) - F(a) $$

Consequências :

1. a integral de caminho do gradiente (de uma função escalar) não depende do caminho $C$, mas só dos valores da função nos extremos do caminho, logo a integral é independente do caminho;

1. no caso de caminho $C$ fechado, os extremos são sobrepostos, logo $(F(b) - F(a) = 0)\,$ e a integral de caminho do gradiente (de uma função escalar) é nula.

Teorema fundamental (de Gauss) para divergente

Teorema fundamental para divergente, ou teorema de Gauss, é para funções vetoriais $\vec{F}$ em $N$ dimensões, relacionando a integral volumétrica do divergente da função vetorial com a integral de superfície fechada de tal função vetorial :

$$ \int_R (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) \, dV = \oint_S \vec{F} \cdot \hat{n} \,dA $$

onde a superfície fechada $S$ delimita a região $R$, e $\hat{n}$ é o vetor normal à $S$.

Outra interpretação está relacionada ao significado de divergente associado a fontes e sorvedouros do campo vetorial :

• a integral volumétrica na região $R$ do divergente da função vetorial é a soma de todas as fontes e os sorvedouros do campo vetorial;
• a integral de superfície fechada da função vetorial é o fluxo do campo vetorial.

Teorema fundamental (de Stokes) para rotacional

Teorema fundamental para rotacional, ou teorema de Stokes, é para funções vetoriais $\vec{F}$ em N dimensões, relacionando a integral de superfície do rotacional da função vetorial com a integral curvilínea fechada de tal função vetorial :

$$ \int_S (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \cdot \hat{n} \,dA = \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{s} $$

onde a curva fechada $C$ delimita a superfície $S$, e $\hat{n}$ é o vetor normal à $S$.

Consequências :

1. a integral de superfície do rotacional (de uma função vetorial) não depende da superfície $S$, mas só da borda (curva) $C$ que delimita a superfície;

1. no caso de superfície $S$ fechada, a borda tende a um ponto e a integral de superfície do rotacional é nula.

Exercícios

Precisa praticar mais isso após "Cálculo C" e "Cálculo D", em termos de exercícios ?

Resposta : ?

De qualquer forma, leiam os exemplos da seção 1.3 do livro [Griffiths].

Tarefa para a próxima aula

Procurem demonstrações no "Wolfram Demonstrations Project" sobre os teoremas e/ou integrais acima.

Início de Eletrostática com lei de Coulomb e campo elétrico $\vec{E}$

Vide "capítulo 2 - Eletrostática" do livro [Griffiths], seção "2.1 - O campo elétrico".

Lei de Coulomb, definição de campo elétrico $\vec{E}$, etc.

Visualização computacional de gráficos de campos vetoriais 2D

Python + MatPlotLib (+ NumPy)

## Example/template of vector field plot in 2 dimensions, F=u(x,y)*ei+v(x,y)*ej,
## where F is a 2-dimensional vector, ei and ej are the cartesian unit vectors.
## The vector field has color options and is saved to a (PNG) file.
## Look at MatPlotLib documentation for more details about 'quiver' :
## http://matplotlib.sourceforge.net/api/pyplot_api.html#matplotlib.pyplot.quiver
## Author : Roberto Colistete Jr.
#
## NumPy and MatPlotLib are loaded :
%pylab inline
#%pylab

Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

##############################################################################
## Personalize your plot parameters here.
## x values from xi to xf with numx points being sampled :
xi = -2.0; xf = 2.0; numx = 26
## y values from yi to yf with numy points being sampled :
yi = -2.0; yf = 2.0; numy = 26
## F = u(x,y)*ei + v(x,y)*ej, just change the expressions after 'return' :
def u(x,y):
     return (x/(sqrt(x**2+y**2)))
def v(x,y):
     return (y/(sqrt(x**2+y**2)))
## Option (True/False) to use scalar color map c = c(x,y) :
scalarcolormapflag = True
## If 'scalarcolormapflag' is True, the scalar color map function c = c(x,y) 
## will be used, just change the expression after 'return' :
def c(x,y):
     return tanh(sqrt(x**2 + y**2))
## If 'scalarcolormapflag' is False then the same color will be used for all 
## vectors. Color : r (red), g (green), b (blue), k (black), etc.
vectorsamecolor = 'r'
## Labels for x and y axis :
xlabeltext = r'x (m)'; ylabeltext = r'y (m)'
## Plot title, here including TeX expressions (inside '$') :
titletext = r'$\vec{F}\,(\vec{r})=\vec{F}\,(x,y)=\,\vec{r}/r$'
## Option (True/False) to show a grid of dashed lines :
gridflag = True
## Name of the file where the plot is saved (in current directory).
## Possible extensions : png, pdf, ps, eps and svg :
plotfilename = 'vectorFxy.png'

##############################################################################
# Don't change the code below
x = arange(xi, xf, (xf-xi)/(numx-1))
y = arange(yi, yf, (yf-yi)/(numy-1))
X,Y = meshgrid(x, y)
U = u(X, Y)
V = v(X, Y)
if scalarcolormapflag:
    C = c(X, Y)
    Q = quiver(X, Y, U, V, C)
else:
    Q = quiver(X, Y, U, V, color=vectorsamecolor)
xlabel(xlabeltext); ylabel(ylabeltext); title(titletext)
grid(gridflag)
## To show instead of saving the plot, just use 'show()' :
show();
# savefig(plotfilename)

O gráfico acima é de um campo vetorial com vetor posição normalizado (logo comportamento divergente), onde as cores dos vetores denotam a distância de cada vetor em relação à origem, usando mapa de cores arco-íris (de violeta indo para o vermelho).

Vide, na seção "Personalize your plot parameters here" do código-fonte Python acima, que o gráfico é facilmente personalizável, podendo mudar a função vetorial $\vec{F}$, o domínio em x e y, o número de vetores em cada eixo, escolher opções de cores para os vetores, título de gráfico, nome dos eixos, grade de fundo, salvar o gráfico em arquivo, etc.