Disciplina - DQF10648 Eletromagnetismo I

Aula em 13/07/2021 - Semestre 2021/1 EARTE

DQF - CCENS - UFES/Alegre

Cálculo integral e seus teoremas em análise vetorial

Vide seção 1.3 do livro [Griffiths].

Teorema fundamental para gradiente

É uma generalização do teorema fundamental do Cálculo para função de uma variável :

$$ \int_a^b \frac{df}{dx} dx = f(b) - f(a) $$

tal que o teorema fundamental para gradiente é para funções escalares $F$ em $N$ dimensões, sendo a integral curvilínea ao longo de uma curva (caminho) $C$ :

$$ \int_C (\vec{\nabla} F) \cdot d\vec{s} = \int_a^b (\vec{\nabla} F) \cdot d\vec{s} = F(b) - F(a) $$

Consequências :

  1. a integral de caminho do gradiente (de uma função escalar) não depende do caminho $C$, mas só dos valores da função nos extremos do caminho, logo a integral é independente do caminho;
  1. no caso de caminho $C$ fechado, os extremos são sobrepostos, logo $(F(b) - F(a) = 0)\,$ e a integral de caminho do gradiente (de uma função escalar) é nula.

Teorema fundamental (de Gauss) para divergente

Teorema fundamental para divergente, ou teorema de Gauss, é para funções vetoriais $\vec{F}$ em $N$ dimensões, relacionando a integral volumétrica do divergente da função vetorial com a integral de superfície fechada de tal função vetorial :

$$ \int_R (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) \, dV = \oint_S \vec{F} \cdot \hat{n} \,dA $$

onde a superfície fechada $S$ delimita a região $R$, e $\hat{n}$ é o vetor normal à $S$.

Outra interpretação está relacionada ao significado de divergente associado a fontes e sorvedouros do campo vetorial :

Teorema fundamental (de Stokes) para rotacional

Teorema fundamental para rotacional, ou teorema de Stokes, é para funções vetoriais $\vec{F}$ em N dimensões, relacionando a integral de superfície do rotacional da função vetorial com a integral curvilínea fechada de tal função vetorial :

$$ \int_S (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \cdot \hat{n} \,dA = \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{s} $$

onde a curva fechada $C$ delimita a superfície $S$, e $\hat{n}$ é o vetor normal à $S$.

Consequências :

  1. a integral de superfície do rotacional (de uma função vetorial) não depende da superfície $S$, mas só da borda (curva) $C$ que delimita a superfície;
  1. no caso de superfície $S$ fechada, a borda tende a um ponto e a integral de superfície do rotacional é nula.

Exercícios

Precisa praticar mais isso após "Cálculo C" e "Cálculo D", em termos de exercícios ?

Resposta : ?

De qualquer forma, leiam os exemplos da seção 1.3 do livro [Griffiths].

Tarefa para a próxima aula

Procurem demonstrações no "Wolfram Demonstrations Project" sobre os teoremas e/ou integrais acima.

Início de Eletrostática com lei de Coulomb e campo elétrico $\vec{E}$

Vide "capítulo 2 - Eletrostática" do livro [Griffiths], seção "2.1 - O campo elétrico".

Lei de Coulomb, definição de campo elétrico $\vec{E}$, etc.

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Visualização computacional de gráficos de campos vetoriais 2D

Python + MatPlotLib (+ NumPy)

O gráfico acima é de um campo vetorial com vetor posição normalizado (logo comportamento divergente), onde as cores dos vetores denotam a distância de cada vetor em relação à origem, usando mapa de cores arco-íris (de violeta indo para o vermelho).

Vide, na seção "Personalize your plot parameters here" do código-fonte Python acima, que o gráfico é facilmente personalizável, podendo mudar a função vetorial $\vec{F}$, o domínio em x e y, o número de vetores em cada eixo, escolher opções de cores para os vetores, título de gráfico, nome dos eixos, grade de fundo, salvar o gráfico em arquivo, etc.